On the well-posedness of Galbrun's equation

Galbrun's equation, which is a second order partial differential equation describing the evolution of so-called Lagrangian displacement vector field, can be used to study acoustics in background flows as well perturbations astrophysical flows. Our starting point for deriving linearized Euler's equations, first system equations that describe Eulerian flow perturbations. Given solution we introduce linear where perturbation fluid velocity acts source term. solves provided it regular enough and no-resonance assumption holds. In case steady tangential domain boundary, prove existence, uniqueness, continuous dependence on data solutions an initial–boundary-value problem equations. For such flows, demonstrate well-defined, initial datum chosen fulfill assumption, derive classical energy estimate (sufficiently to) equation. Due presence zeroth terms indefinite signs allows grow exponentially with time. L'équation de Galbrun, est une équation aux dérivées partielles du ordre qui décrit l'évolution d'un champ vecteurs déplacements, dit Lagrangien. Elle peut être utilisée pour étudier l'acoustique des écoulements à grande échelle, ainsi que les astrophysiques. Notre départ, dériver l'équation d'Euler linéarisée, un système d'équations premier décrivant l'écoulement. Une équations linéarisées étant donnée, nous introduisons le déplacement Lagrangien comme la d'une linéaire ordre, dont membre Eulérienne vitesse fluide. Ce condition qu'il soit suffisamment régulier et l'hypothèse dite non-résonance satisfaite. Dans cas où l'écoulement échelle stationnaire tangent frontière domaine, démontrons résultats d'existence, d'unicité dépendance continue par rapport données, problème limites avec initiale, linéarisées. Pour tels écoulements, bien défini, donnée initiale choisie afin satisfaire dérivons estimation classique l'énergie régulières Galbrun. En raison présence termes d'ordre zéro signes indéfinis dans équations, l'estimation autorise croissent exponentiellement temps.